2019-2020学年人教B版选修2-1 16 抛物线的几何性质(二) 作业
2019-2020学年人教B版选修2-1 16 抛物线的几何性质(二) 作业第3页

  那么|AF|+|BF|=x1+x2+2,

  又|AF|+|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6,当AB过焦点F时取得最大值6.]

  8.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为________.

  y=x [∵焦点F为(1,0),∴抛物线方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y=4x1,y=4x2,两式相减得y-y=4(x2-x1).整理得=,由于kAB=,而AB中点为(2,2),所以y2+y1=4,于是kAB==1,因此直线l的方程为y-2=x-2,即y=x.]

  三、解答题

  9.设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.

  (1)设l的斜率为1,求|AB|的值;

  (2)求证:\s\up15(→(→)·\s\up15(→(→)是一个定值.

  [解] (1)由题意可知抛物线的焦点F的坐标为(1,0),

  ∴直线l的方程为y=x-1.

  设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,由直线l过焦点,得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8.

  (2)证明:设直线l的方程为x=ky+1,A(x1,y1),B(x2,y2),

  由得y2-4ky-4=0.

  ∴y1+y2=4k,y1y2=-4,

  \s\up15(→(→)=(x1,y1),\s\up15(→(→)=(x2,y2).

  ∵\s\up15(→(→)·\s\up15(→(→)=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3,

∴\s\up15(→(→)·\s\up15(→(→)是一个定值.