=(CA) ⃗^2+(AB) ⃗^2+(BD) ⃗^2+2((CA) ⃗·(AB) ⃗+(AB) ⃗·(BD) ⃗+(BD) ⃗·(CA) ⃗)

=(CA) ⃗^2+(AB) ⃗^2+(BD) ⃗^2+2(BD) ⃗·(CA) ⃗

=9+4+16+2×4×3×cos 120°=17,

所以CD的长为√17.

答案:√17

10.已知在空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点.求证:OG⊥BC.

证明如图所示,连接ON.

设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ,

又设(OA) ⃗=a,(OB) ⃗=b,(OC) ⃗=c,则|a|=|b|=|c|.

∵(OG) ⃗=((OM) ⃗+(ON) ⃗)/2=1/2 [1/2 (OA) ⃗+1/2 "(" (OB) ⃗+(OC) ⃗")" ]

=1/4(a+b+c),(BC) ⃗=(OC) ⃗-(OB) ⃗=c-b,

∴(OG) ⃗·(BC) ⃗=1/4(a+b+c)·(c-b)

=1/4(a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c)

=1/4(|a|2cos θ-|a|2cos θ+|a|2cos θ-|a|2+|a|2-|a|2cos θ)=0,

∴OG⊥BC.

★11.如图所示,点O是正△ABC所在平面外的一点,若OA=OB=OC=AB=1,E,F分别是AB,OC的中点,试求(OE) ⃗与(BF) ⃗所成角的余弦值.

解设(OA) ⃗=a,(OB) ⃗=b,(OC) ⃗=c,

则a·b=b·c=c·a=1/2,|a|=|b|=|c|=1,

(OE) ⃗=1/2(a+b),(BF) ⃗=1/2 c-b,