如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)

A.("|" BF"|-" 1)/("|" AF"|-" 1) B.("|" BF"|" ^2 "-" 1)/("|" AF"|" ^2 "-" 1)

C.("|" BF"|" +1)/("|" AF"|" +1) D.("|" BF"|" ^2+1)/("|" AF"|" ^2+1)

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则 S_("△" BCF)/S_("△" ACF) =BC/AC=x_2/x_1 =("|" BF"|-" 1)/("|" AF"|-" 1),故选A.

答案:A

7.设抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程为　　　　　.

答案:y2=8x或y2=-16x

8.已知顶点与原点O重合,准线为直线x=-1/4的抛物线上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2),若y1·y2=-1,则∠AOB的大小是　　　　　.

解析:由已知得抛物线方程为y2=x,因此(OA) ⃗·(OB) ⃗=x1x2+y1y2=y_1^2 y_2^2+y1y2=(-1)2+(-1)=0.

　　∴(OA) ⃗⊥(OB) ⃗.∴∠AOB=90°.

答案:90°

9.过定点A(-2,-1),倾斜角为45°的直线与抛物线y=ax2交于B,C,且|BC|是|AB|,|AC|的等比中项,求抛物线方程.

解:设A(-2,-1),B(x1,y1),C(x2,y2)在x轴上的射影分别为A'(-2,0),B'(x1,0),C'(x2,0),

　　∵|BC|2=|AB|·|AC|,

　　∴|B'C'|2=|A'B'|·|A'C'|.

　　于是有|x1-x2|2=(x1+2)(x2+2),0①

　　直线AC的方程为y=x+1.

　　代入y=ax2并整理得ax2-x-1=0.

　　∴x1+x2=1/a,x1x2=-1/a,0②

　　把②代入①得,a=1或a=-1/4.

　　当a=1时,方程ax2-x-1=0根的判别式Δ>0;

　　当a=-1/4时,Δ=0,B,C重合,不合题意,舍去.

　　∴抛物线方程为y=x2.

10.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.试证明直线AC经过原点O.

证明:方法一:设直线AB的方程为x=my+p/2,A(x1,y1),B(x2,y2),C("-" p/2 "," y_2 ).

　　由{■(x=my+p/2 "," @y^2=2px"," )┤得y2-2pmy-p2=0,

∴y1·y2=-p2.