如图，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．

　　解：设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，因为点P是线段QN的中点，所以N点的坐标为(2x－x0，2y－y0)．

　　又点N在直线x＋y＝2上，所以2x－x0＋2y－y0＝2，

　　即x0＋y0＝2x＋2y－2.①

　　又QN⊥l，kQN＝＝1，即x0－y0＝x－y.②

　　由①②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2)．

　　又因为点Q在双曲线上，

　　所以(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.

　　化简，得(x－)2－(y－)2＝.

　　所以线段QN的中点P的轨迹方程为

　　(x－)2－(y－)2＝.

　　[能力提升]

　　设向量i，j为平面直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a＝(x＋3)i＋yj，b＝(x－3)i＋yj，且|a|－|b|＝2，则满足上述条件的点P(x，y)的轨迹方程是________．

　　解析：因为|a|－|b|＝2，

　　所以－＝2，

　　其几何意义是动点P(x，y)到定点(－3，0)，(3，0)的距离之差为2，由双曲线定义可知点P(x，y)的轨迹是以点(－3，0)和(3，0)为焦点，且2a＝2的双曲线的一支，由c＝3，a＝1，解得b2＝c2－a2＝8，

　　故点P(x，y)的轨迹方程是x2－＝1(x>0)或(x≥1)．

　　答案：x2－＝1(x>0)或(x≥1)

　　如图， 半径为1的圆C过原点，Q为圆C与x轴的另一个交点，OQRP为平行四边形，其中RP为圆C在x轴上方的一条切线，当圆心C运动时，则点R的轨迹方程为________．

解析：设圆心C的坐标为(x0，y0)(x0≠0)，则点Q、P的坐标分别为(2x0，0) 、(x0，y0＋1)，得PQ的中点M的坐标为(，)，因为OQRP为平行四边形，PQ的中点M也是OR的中点，所以可得R点坐标为(3x0，y0＋1)，令R点坐标为(x，y)，则即，又x＋y＝1，代入得＋(y－1)2＝1，故点R的轨迹方程为＋(y－1)2＝1(x≠0，x≠2)．