答案:a≥-8

9.对任意实数x,不等式2x>m(x2+1)恒成立,求实数m的取值范围.

分析2x>m(x2+1)恒成立,也就是对∀x∈R,mx2-2x+m<0恒成立,再考虑m是否为零.若为零,则原式化为-2x<0,显然不恒成立;若m≠0,则m<0,且Δ<0.

解不等式2x>m(x2+1)对任意x都成立,即不等式mx2-2x+m<0恒成立.

　　(1)当m=0时,不等式化为-2x<0,显然不恒成立,不合题意.

　　(2)当m≠0时,要使mx2-2x+m<0恒成立,

　　则{■(m<0"," @"(-" 2")" ^2 "-" 4m^2<0"," )┤

　　解之,得m<-1.

　　综上可知,所求实数m的取值范围为m<-1.

能力提升

1.下列命题:

①至少有一个x0,使x_0^2+2x0+1=0;

②对任意的x,都有x2+2x+1=0成立;

③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立;

④存在x0,使x_0^2+2x0+1=0成立.

其中全称命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:①④中有存在量词"至少有一个"和"存在",所以①④为特称命题;而②③中都有全称量词"任意的",故为全称命题.

答案:B

2.已知命题p:∃x0∈R,使sin x0=√5/2;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论:

①命题p∧q是真命题;②命题p∧(􀱑q)是假命题;

③命题(􀱑p)∨q是真命题;④命题(􀱑p)∨(􀱑q)是假命题.

其中正确的是(　　)

A.②③ B.②④

C.③④ D.①②③

解析:∵p假q真,∴􀱑p真,􀱑q假.

　　∴p∧(􀱑q)为假,(􀱑p)∨q为真.

答案:A

3.已知命题p:"对∀x∈R,∃m∈R,使4x+2x·m+1=0".若命题􀱑p是假命题,则实数m的取值范围是0(　　)