8.(2014·大连高二检测)函数f(x)＝x·ex在点(1，e)处的切线方程为________．

　　解析：由导数的几何意义，切线的斜率k＝f′(x)|x＝1＝(xex)′|x＝1＝ex(x＋1)|x＝1＝2e，

　　所以切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.

　　答案：y＝2ex－e

　　9.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，求f(x)的解析式．

　　解：∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，

　　由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，得

　　解之

　　∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x3－9x2＋12x.

　　10.已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)．

　　(1)求f(1)＋f′(1)；

　　(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．

　　解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，

　　所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.

　　(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，

　　即f′(x)＝0⇒2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．

　　[能力提升]

　　1.等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)...(x－a8)，则f′(0)＝(　　)

　　A．26 B．29

　　C．212 D．215

　　解析：选C.因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)...(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)...(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)...(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)...(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)...(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)·...·(0－a8)]′·0＝a1a2...a8.

　　因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.

　　2.若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于________．

　　解析：设过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.

　　又点(1，0)在切线上，则x0＝0或x0＝.

　　当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；

　　当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.

答案：－1或－