题目:设a1,a2,...,a7是由数字1,2,...,7任意排成的一个数列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)...(a7-7)为偶数.
证明:假设p为奇数,则________均为奇数.
因奇数个奇数之和为奇数,故有
奇数=__________________
=__________________
=0.
但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数.
【解析】由假设p为奇数可知a1-1,a2-2,...,a7-7均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+...+(a7-7)=(a1+a2+...+a7)-(1+2+...+7)=0为奇数,这与0为偶数矛盾.
答案:a1-1,a2-2,...,a7-7
(a1-1)+(a2-2)+...+(a7-7)
(a1+a2+...+a7)-(1+2+...+7)
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.(2018·深圳高二检测)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.
求证:f(x)=0无整数根.
【证明】假设f(x)=0有整数根n,
则an2+bn+c=0,
由f(0)为奇数,即c为奇数,
f(1)为奇数,即a+b+c为奇数,所以a+b为偶数,
又an2+bn=-c为奇数,
所以n与an+b均为奇数,又a+b为偶数,
所以an-a为奇数,即(n-1)a为奇数,
所以n-1为奇数,这与n为奇数矛盾.
所以f(x)=0无整数根.
【拓展延伸】适用反证法证明的题型
适用反证法证明的题型有:
(1)一些基本命题、基本定理.
(2)易导出与已知矛盾的命题.