反证法可用来解决哪些问题

一、证明几何量之间的关系

　　例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。

　　分析:结论是"不垂直"，呈"否定性"，考虑使用反证法，即假设"垂直"后再导出矛盾后，再肯定"不垂直"。

　　证明:假设AC⊥平面SOB，∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO，

　　∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB，

　　∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O，

　　这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直。

　　否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。上面所举的例子，用直接证法证明比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法。

二、证明"唯一性"问题

　　例2：试证明：在平面上所有通过点的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标、均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。

　　证明：先证存在性。

　　因为直线，显然通过点，且直线至少通过两个有理点，例如它通过和。这说明满足条件的直线有一条。

　　再证唯一性。

　　假设除了直线外还存在一条直线（或）通过点，且该直线通过有理点A与B，其中、、、均为有理数。

　　因为直线通过点，所以，于是，且。又直线通过A与B两点，所以， ①

　　 ②

①－②，得 ③