习题课　综合法和分析法

明目标、知重点

加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．

1．综合法

综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．

综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒...⇒Pn(结论)

2．分析法

分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为"执果索因"，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为"因为......，为了证明......，只需证明......，即......，因此，只需证明......，因为......成立，所以......，结论成立"．

分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐...⇐Pn－2⇐Pn－1⇐Pn(结论)

分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．

题型一　选择恰当的方法证明不等式

例1　设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.

证明　I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca

＝a2＋b2＋c2＋2S.

欲证3S≤I2<4S，

即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.

先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，

只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，

即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；

再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，

只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，

即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，

只需证a

由于a、b、c为三角形的三边长，