课堂导学

三点剖析

一,用反证法证明数学中的基本命题

【例1】 求证:质数有无穷多.

证明:如果质数的个数有限，那么我们可以将全体质数列举如下：

p1，p2，...，pk，

令q=p1p2...pk+1.

q总是有质因数的，但我们可证明任何一个pi（1≤i≤k）都除不尽q.假若不然，由pi除尽q,及pi除尽p1p2...pk可得到pi除尽（q-p1p2...pk），即pi除尽1,这是不可能的.故任何一个pi都除不尽q.这说明q有不同于p1，p2,...,pk的质因数.这与只有p1，p2，...，pk是全体质数的假定相矛盾.

所以质数有无穷多.

温馨提示

用反证法证明结论是B的命题，其思路是：假定B不成立，则B的反面成立，然后从B的反面成立的假定出发，利用一些公理、定理、定义等作出一系列正确的推理，最后推出矛盾的结果，若同时承认这个结果与题设条件，则与学过的公理、定理或定义矛盾，这矛盾只能来自"B的反面成立"这个假设，因此B必定成立.可见反证法的步骤是：否定结论推出矛盾否定假设肯定结论，其中推出矛盾是证明的关键.

二,某些数学问题的证明可用反证法

【例2】 已知a、b、c∈(0,1),求证：（1-a）b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于v.

证明一:假设三式同时大于，

即（1-a）b>,(1-b)c>,(1-c)a>,三式相乘，得：（1-a）a·(1-b)b·(1-c)c>.

又(1-a)a≤()2=.

同理，（1-b）b≤，(1-c)c≤.以上三式相乘得

（1-a）a(1-b)b(1-c)c≤，这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c>矛盾，故结论得证.

证明二:假设三式同时大于.

∵0

∴1-a>0.

同理，.

三式相加得>,矛盾，

∴原命题成立.

温馨提示

与原命题相反的判断，如"是"的反面是"不是"，"有"的反面是"没有"，"等"的反面是"