2019-2020学年北师大版选修2-2 导数在实际问题中的应用 学案

题型一　利润最大问题

例1　某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低售价，销售量就会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元/件，0≤x≤21)的平方成正比.已知每件商品的售价降低2元时，一星期多卖出24件.

(1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数；

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

解　(1)若每件商品单价降低x元，则一个星期多卖的商品数为kx2件.

由已知条件得k·22＝24，解得k＝6.

若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].

(2)对(1)中函数求导得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x 0 (0,2) 2 (2,12) 12 (12,21) 21 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 9 072  极小值  极大值  0

∴x＝12时，f(x)取得极大值.∵f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，∴30－12＝18(元)，故定价为每件18元能使一个星期的商品销售利润最大.

反思与感悟　利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据"利润＝收入－成本"建立函数关系式，再利用导数求最大值.

解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.

跟踪训练1　某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x吨与每吨产品的价格p(元/吨)之间的函数关系式为p＝24 200－x2，且生产x吨产品的成本为R＝50 000＋200x(元).问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？

解　依题意，知每月生产x吨产品时的利润为f(x)＝x－(50 000＋200x)＝－x