高手支招3综合探究

1.利用导数解决优化问题的方法和基本思路

方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工具.

基本思路:建立数学模型.

2.最值和极值的区别与联系

(1)最值是个整体概念,而极值是个局部概念;

(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的,而极值不一定唯一;

(3)极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值时未必有最值,有最值时未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.

3.求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值或最小值的步骤

可按以下步骤:

(1)求出二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数f′(x)=2ax+b;

(2)讨论二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内是否有极值点,即方程f′(x)=0的根x=是否在区间(m,n)内,确定二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值或最小值:

①若方程f′(x)=0的根x=在区间(m,n)内,即m＜＜n,此时f()必为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内的最大值或最小值,再求出f(m),f(n)的值,f(),f(m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值和最小值;

②若方程f′(x)=0的根x=不在区间(m,n)内,即m≥或n≤时,此时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内是单调函数,只需求出f(m),f(n)的值,f(m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值和最小值.

高手支招4典例精析

【例1】 当x∈(1,2)时,函数f(x)=恒大于正数a,试求函数y=lg(a2-a+3)的最小值.

思路分析:欲求y=lg(a2-a+3)的最小值,则应知a2-a+3的最小值,于是必须确定a的取值范围,即必须先求函数f(x)= 的最小值.

解:y′=()′=,

当x∈(1,2)时,y′＜0,∴f(x)在(1,2)上单调递减,于是f(x)min=f(2)=.

由题意知a的取值范围是a＜.

∴y=lg(a2-a+3)=lg［(a)2+］,故当a=时,ymin=lg.