重难点归纳

　　空间角的计算步骤 一作、二证、三算

　　1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90°

　　方法 ①平移法；②补形法

　　2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90°

　　方法 关键是作垂线，找射影

　　3 二面角

　　方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法

　　注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算

　　注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果

　　4．三种空间角的向量法计算公式：

⑴异面直线所成的角：；

⑵直线与平面(法向量)所成的角：；

⑶锐二面角：，其中为两个面的法向量。

典型题例示范讲解

　　例1在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点

　　(1)求证 四边形B′EDF是菱形；

　　(2)求直线A′C与DE所成的角；

　　(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；

　　(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角

　　命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强

　　知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角

　　错解分析 对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面

　　技巧与方法求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法

　　(1)证明 如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四边形 ∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形

　　∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面故四边形B′EDF是菱形

　　 (2)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角

　　在△A′CP中，

易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a