题型一　证明问题

例1(2017·全国Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→).

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线x＝－3上，且\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

(1)解　设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，

\s\up6(→(→)＝(x－x0，y)，\s\up6(→(→)＝(0，y0)．

由\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)得x0＝x，y0＝y.

因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.

因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.

(2)证明　由题意知F(－1,0)．

设Q(－3，t)，P(m，n)，则\s\up6(→(→)＝(－3，t)，

\s\up6(→(→)＝(－1－m，－n)，\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝3＋3m－tn，

\s\up6(→(→)＝(m，n)，\s\up6(→(→)＝(－3－m，t－n)．

由\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1.

又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.

所以\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0，即\s\up6(→(→)⊥\s\up6(→(→).

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．

跟踪训练1 已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的一个顶点A(0,1)，离心率e＝，圆C：x2＋y2＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.

(1)求椭圆T的方程；

(2)求证：PM⊥PN.

(1)解　由题意可知b＝1，＝，即2a2＝3c2，

又a2＝b2＋c2，联立解得a2＝3，b2＝1.