第二章　平面向量

2.4　平面向量的数量积

2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义

学习目标

　　1.会算一个向量在另一个向量上的投影,会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.

　　2.以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究.通过作图分析,使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别.

　　3.由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的过程,培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯.

合作学习

　　一、设计问题,创设情境

　　问题1:一辆小车,在力F的作用下,从A处到B处拉动的位移为s,那么请问力F在这个运动过程中所做的功?

　　(1)力F所做的功W=　　　　.

　　(2)请同学们分析公式的特点:W(功)是　　　量,F(力)是　　　　量,s(位移)是　　　量.

　　(3)师生共同探讨矢量乘矢量以及引出向量乘以向量.

　　二、信息交流,揭示规律

　　1.数量积的概念

　　已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　叫做 a与 b的数量积(或内积),记作　　　　.

　　问题2:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?

　　问题3:数量积的几何意义是什么?

　　2.由数量积的定义可以得到下面几个重要结果:

　　(1)当=0时,　　　　　　;当=180°时,　　　　.

　　(2)cos=　　　　.

　　(3)当b=a时,有=0,所以a·a=|a||a|=　　　　,即|a|=　　　　.

　　(4)当=90°时,a⊥b,因此,a·b=|a|·|b|cos90°=0,因此对非零向量a,b,有　　　　⇔a⊥b.

　　3.可以验证,向量的数量积满足下面的运算律:

　　(1)

(2)