灵活运用反证法

　　反证法是属于"间接证明法"一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，它是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾,其原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明．适合用反证法证明的命题：①否定性命题；②惟一性命题；③至多、至少型命题；④明显成立的命题；⑤直接证明有困难的命题．反证法应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何等方面都有应用，本文选择几个有代表性的应用，举例加以介绍．

　　一、证明几何量之间的关系

　　例1　已知：四边形ABCD中，E，F分别是AD、BC的中点，．

　　求证：．

　　证明：假设AB不平行于CD。如图，连结AC，取AC的中点G，连结EG、FG．

　　∵E，F，G分别是AD、BC、AC的中点，

　　∴，；，．

　　∵AB不平行于CD，

　　∴GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形．

　　∴ ， ①

　　但 ． ②

　　①与②矛盾．

　　∴．

　　例2　直线与平面相交于，过点在平面内引直线、、，．

　　求证：．

　　证明：假设PO不垂直平面．

　　作并与平面相交于H，此时H，O不重合，连结OH．

　　由P作于E，于F，

　　根据三垂线定理可知，，．

　　∵，PO是公共边，

　　∴，

　　∴．

　　又，

　　∴，

　　∴．

　　因此，OH是的平分线．

　　同理可证，OH是的平分线．

　　但是，OB和OC是两条不重合的直线，OH不可能同时是和的平分线，产生矛盾．

　　∴．

上面所举的例子，用直接证法证明都比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法．