运用反证法要善于"制造"矛盾

　　反证法是间接证明的一种基本方法，是从反面的角度思考问题的证明方法，是解决某些"疑难"问题的有力工具．反证法就是先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，依靠矛盾推翻假设,从而证明原命题成立的. 反证法的应用非常广泛,用反证法证明命题"若p则q"时，我们常常需要"制造"以下四种"矛盾".

一.与原命题的条件矛盾；

　　例1.组装甲、乙、丙三种产品，需要A,B,C三种零件，每件甲产品用零件A,C各2个；每件乙产品用零件A 2个，零件B 1个；每件丙产品用B,C各1个，如组装10件甲，8件乙，5件丙，则剩下2个A零件，1个B零件，C零件都恰好用完，试证无论如何改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A，B，C用完．

　　解:假设组装甲x件，乙y件，丙z件，零件A,B,C恰好用完，则有方程组

　　解得，方程组的解均为非整数，与题设矛盾，即假设错误，所以原命题成立．

　　点评: 本题的结论是"不论怎样改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A,B,C用完", A,B,C不能用完的情况有多种，而结论的反面是"零件A，B,C都恰好用完"，这只有一种确定的情况，即三种零件的剩余数皆为零，因此从反面出发，较易证．通过推理得到的结果与题设矛盾.

练习:

1.设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。

S

C

A O

B

证明: 假设AC⊥平面SOB，

∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO，

∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB，

∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O，

这显然出现矛盾，所以假设不成立。

即AC与平面SOB不垂直。

　　2.若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数．

求证：方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根．

证明：假设方程f(x)=0在区间[a,b]上有两个实根x1 ,x2.

则f(xl）=f(x2）=0,这与函数f (x)在区间[a,b]上是增函数矛盾．

故方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根．

二.与假设矛盾

　　例2.求证：抛物线没有渐近线.

分析: 本题已知条件太少,直接证明难度太大,可以运用反证法.