2018-2019学年人教B版选修2-1 第二章 §2.3 双曲线 学案
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§2.3 双曲线

2.3.1 双曲线的标准方程

学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.

知识点一 双曲线的定义

思考 如图,若取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线上的点应满足怎样的几何条件?

答案 曲线上的点满足条件:|MF1|-|MF2|=常数;如果改变一下笔尖位置,使|MF2|-|MF1|=常数,可得到另一条曲线.

梳理 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

(2)关于"小于|F1F2|":①若将"小于|F1F2|"改为"等于|F1F2|",其余条件不变,则动点轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点);②若将"小于|F1F2|"改为"大于|F1F2|",其余条件不变,则动点轨迹不存在.

(3)若将"绝对值"去掉,其余条件不变,则动点的轨迹只有双曲线的一支.

(4)若常数为零,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.

知识点二 双曲线的标准方程

思考 双曲线中a,b,c的关系如何?与椭圆中a,b,c的关系有何不同?

答案 双曲线标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中c>a,c>b,a与b的大小关系不确定;而在椭圆中b2=a2-c2,即a2=b2+c2,其中a>b>0,a>c,c与b的大小关系不确定.

梳理 (1)两种形式的标准方程