2.3　数学归纳法

　　　1.了解数学归纳法的原理.　2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

　　　数学归纳法

　　一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

　　（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立；

　　（2）（归纳递推）假设n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.

　　只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

　　上述证明方法叫做数学归纳法Ｗ.

　　1.数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.

　　2.第一个值n0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n0都是1.

　　3.步骤（2）是数学归纳法证明命题的关键.归纳假设"当n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立"起着已知的作用，证明"当n＝k＋1时命题也成立"的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n＝k＋1时命题也成立.而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 判断正误（正确的打"√"，错误的打"×"）

　　（1）与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（　　）

　　（2）数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.（　　）

　　（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可.（　　）

　　答案：（1）×　（2）×　（3）√

　　 用数学归纳法证明"凸n边形的内角和等于（n－2）π"时，归纳奠基中n0的取值应为（　　）

　　A.1 B.2

　　C.3 D.4

　　解析：选C.根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.

　　 用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋...＋（n＋3）＝（n∈N*）时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是（　　）

　　A.1 B.1＋2

　　C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4

　　答案：D

　　 用数学归纳法证明1＋＋＋...＋1）第一步要证明的不等式是　　　　　　，从n＝k到n＝k＋1时，左端增加了　　　　　　项.

　　解析：当n＝2时，1＋＋<2.

　　当n＝k时到第2k－1项，

　　而当n＝k＋1时到第2k＋1－1项，

　　所以2k＋1－1－（2k－1）＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k.

　　答案：1＋＋<2　2k