2018-2019学年北师大版选修4-5 平均值不等式 学案

学习目标　1.理解并掌握平均值不等式的特征结构.2.了解平均值不等式的推广.3.会用平均值不等式解决相关问题．

知识点一　二元平均值不等式

思考　回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件．

答案　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，

当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab.

梳理　(1)重要不等式

定理1：对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取"＝"号)．

(2)二元平均值不等式

①定理2：对任意两个正数a，b，有≥(当且仅当a＝b时取"＝"号)．

②定理2的应用：对两个正实数x，y，

(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；

(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值．

知识点二　三元平均值不等式

思考　类比二元平均值不等式：≥(a＞0，b＞0)，请写出a，b，c∈R＋时，三元平均值不等式．

答案　≥.

梳理　(1)定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取"＝"号)．

(2)定理4：对任意三个正数a，b，c，有≥(当且仅当a＝b＝c时取"＝"号)．

(3)平均值不等式的推广

对于n个正数a1，a2，...，an(n≥2)，把数值，分别称为这n个正