2．基本不等式

　　1．基本不等式的定理1,2

　　定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

　　定理2：如果a，b＞0，那么≥，而且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．

　　2．基本不等式的理解

　　重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式≥，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b≥0仍然能使≥成立．

　　两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b.

　　3．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式

　　(1)a2＋b2≥；

　　(2)ab≤；

　　(3)ab≤2；

　　(4)2≤；

　　(5)(a＋b)2≥4ab.

利用基本不等式证明不等式 　　[例1]　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.

　　求证：＋＋≥9.

　　[思路点拨]　解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明．

　　[证明]　法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

　　∴＋＋＝＋＋

＝3＋＋＋＋＋＋