§7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像

知识梳理

1.四种变换画图方法

（1）振幅变换：对于函数y=Asinx(A＞0,A≠1)的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时），或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的.

（2）周期变换：对于函数y=sinωx(ω＞0,ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时），或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的.

（3）相位变换：对于函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx的图像上所有的点向左（当φ＞0时），或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位得到的.

（4）上下平移变换：对于函数y=sinx+b的图像，可以看作是把y=sinx的图像上所有点向上（当b＞0时），或向下（当b＜0时）平行移动|b|个单位得到的.

2.函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像

(1)概念：在正弦型函数y=Asin(ωx+φ)中，A叫振幅，T=叫周期，ωx+φ叫相位，φ叫初相.

（2）图像画法：五点法和变换法.

描点法步骤：①列表（ωx+φ通常取0，,π, ,2π这五个值）；②描点；③连线.

变换法：常用的变换步骤：

①（相位变换）先把y=sinx的图像上所有的点向左（当φ＞0时），或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位，得函数y=sin(x+φ)的图像；

②（周期变换）再把函数y=sin(x+φ)的图像上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时），或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变），得函数的图像；

③（振幅变换）再把函数y=sin(ωx+φ)的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时），或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变），得函数y=Asin(ωx+φ)的图像；

④（上下平移变换）再把函数y=Asin(ωx+φ)的图像上所有点向上（当b＞0时），或向下（当b＜0时）平行移动|b|个单位，得函数y=Asin(ωx+φ)+b的图像.

3.函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的性质

定义域：R.

值域：［-A,A］.

当x=(k∈Z)时，y取最大值A+b；

当x=(k∈Z)时，y取最小值-A+b.

周期性：周期函数，周期为.

奇偶性：当且仅当φ=kπ(k∈Z)且b=0时，函数y=Asin(ωx+φ)+b是奇函数，否则不是奇函数