1.3第二课时 函数的极值与导数

一、课前准备

1．课时目标

（1）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.

（2）会用导数求函数的极大值和极小值.

2．基础预探

(1) 函数极值定义

一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个 ，记作y极大值=f(x0)，x0是 .

如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞ f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个 ，记作y极小值= f(x0)，x0是 .极大值与极小值统称为极值.

(2) 判别f(x0)是极大、极小值的方法:

若满足，且在的两侧的导数 ，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足"左正右负"，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足"左负右正"，则是的极小值点，是 .

(3) 求可导函数f(x)的极值的基本步骤:

　　 (1)确定函数的定义区间，求 .

(2)求方程f′(x)=0的 .

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的 ，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处 .

二、学习引领

极值点和极值的常见基本性质:

1. 极值是一个局部概念.

　　由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

2. 函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.

3. 极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值，如图(1)所示，是极大值点，是极小值点，而>

4. 若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的,如图(2)所示，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.