1.3第二课时 函数的极值与导数
一、课前准备
1.课时目标
(1)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
(2)会用导数求函数的极大值和极小值.
2.基础预探
(1) 函数极值定义
一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有点,都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个 ,记作y极大值=f(x0),x0是 .
如果对x0附近的所有的点,都有f(x)> f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个 ,记作y极小值= f(x0),x0是 .极大值与极小值统称为极值.
(2) 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足,且在的两侧的导数 ,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足"左正右负",则是的 ,是极大值;如果在两侧满足"左负右正",则是的极小值点,是 .
(3) 求可导函数f(x)的极值的基本步骤:
(1)确定函数的定义区间,求 .
(2)求方程f′(x)=0的 .
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义域分成若干小开区间,并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的 ,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得 ;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得 ;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处 .
二、学习引领
极值点和极值的常见基本性质:
1. 极值是一个局部概念.
由定义可知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
2. 函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
3. 极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值,如图(1)所示,是极大值点,是极小值点,而>
4. 若函数f(x)在[a,b]上有极值,它的极值点的分布是有规律的,如图(2)所示,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.