5. 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
6. 可导函数的极值点的导数为0,但是导数为0的点不一定是极值点,如函数y=x3在x=0处导数为0,但x=0不是极值点.
三、典例导析
题型一 求函数的极值
例1 设函数(),其中,求函数的极大值和极小值.
思路导析: 先求函数的导数,再令导函数为零,求可疑极值点,最后列表判断极值,并求出极值.
解:,.
令,解得或.由于,当变化时,的正负如下表:
因此,函数在处取得极小值,且;函数在处取得极大值,且.
规律总结: 该问题既求函数的极大值,又求极小值,需要依据求极值的基本步骤进行.列表判断符号是关键.当两个可疑极值点大小不确定时,需要进行分类讨论.
变式训练1已知,函数,求函数在的极值.
题型二 函数极值(点)的判定
例2 已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如下图所示,则( ).
A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点
B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点
思路导析:依据导函数值的符号与函数单调性的关系,判断函数的单调性,再依据单调性判断函数极值.
解:由导函数图象可知,当和时,当函数值非负,其余部分导函数值非正,据此可以判断为极大值点, 为极小值点,故该函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点.
规律总结:由图象性质判断函数的极值,其依据是函数极值的定义,因此,由导函数的