恒成立问题

课程目标

知识点 考试要求 具体要求 考察频率 恒成立问题 C 掌握恒成立问题的思想，能用相关知识解决恒成立问题. 常考 知识提要

恒成立问题

不等式​恒成立问题通常转化为求函数的最大值或最小值的问题，也可以先分离变量，再转化为求函数最大值或最小值的问题．

① f(x)>a 恒成立，转化为 f(x)_min>a

② f(x)

③ f(x)⩾a 恒成立，转化为 f(x)_min⩾a ​

④ f(x)⩽a 恒成立，转化为 f(x)_max⩽a ​

精选例题

恒成立问题

1. 若不等式 2∣x∣-1>a(x^2-1) 对满足 -1⩽a⩽1 的所有 a 都成立，则 x 的取值范围是 ．

【答案】 (-2,1-√3)∪(√3-1,2)

【分析】 设 f(a)=a(x^2-1)-2∣x∣+1，则原命题等价于 f(a)<0 在 a∈[-1,1] 上恒成立．

所以 {■(f(-1)<0,@f(1)<0,)┤⇒{■(0<∣x∣<2,@∣x∣>√3-1,)┤ 所以 x∈(-2,1-√3)∪(√3-1,2)．

2. 若不等式 2x>x^2+a 对于一切 x∈[-2,3] 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ．

【答案】 (-∞,-8)