典题精讲

例1已知扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？

思路分析：设扇形的半径是r，弧长是l，扇形面积可表示为S=lr，l与r之间还要满足周长为20，即l+2r=20，所以l=20-2r，这样S就能表示成关于r的二次函数，再利用二次函数的性质求最值.

解：设扇形的半径是r，弧长是l，此时扇形的面积为S.

由已知条件,知l+2ｒ=20，即l=20-2ｒ.

由0＜l＜2πr，得0＜20-2r＜2πr，

∴＜r＜10.

∴S=lr=（20-2r）r=-r2+10r=-（r-5）2+25（＜r＜10），

当r=5时，S取最大值25，此时l=10，α==2,

即当扇形的圆心角为2时，扇形有最大面积25.

绿色通道：当扇形周长为定值时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注明r的取值范围.特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.

变式训练已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长最小?

思路分析：设扇形的半径是r，弧长是l，则25=lr，扇形周长y=l+2r，消去l得y关于r的二次函数，再利用函数的单调性求最值.

解：设扇形的半径是r，弧长是l，此时扇形的周长为y，则y=l+2r.

由题意，得lr=25，则l=，

∴y=+2r(r＞0).

利用函数单调性的定义可以证明：

当0＜r≤5时，函数y=+2r是减函数；

当r＞5时，函数y=+2r是增函数.

∴当r=5时，y取最小值20，此时l=10，α==2,

即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值20.

例2如图1-3-2所示，一绳索绕在半径为40厘米的滑轮上，绳索的下端B处悬挂着物体W.如果轮子按逆时针方向每分旋转6圈，那么需要几秒才能把物体W的位置向上提升100厘米？