向量的内积与二面角的计算

在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：

(1)

其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。，， 。为二面角P-MN-Q（见图1）。

图1

公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：

　　以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则，得

　　，，。

　　分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量，，则。

　　由计算知，的坐标分别为

　　，，

于是，