1．导函数的符号和函数的单调性的关系

(1)如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)≥0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；

(2)如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)≤0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．

2．函数的极值与导数

(1)函数的极大值点和极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点．其函数值f(x0)为函数的极大值．

(2)函数的极小值点和极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．

(3)极值和极值点：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．

(4)求可导函数极值的步骤：

①求f′(x)．

②求方程f′(x)＝0的根．

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

3．函数的最值与导数

(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．函数的最小值点也有类似的意义．

(2)函数的最大值：最大值或者在极值点取得，或者在区间的端点取得．

(3)最值：函数的最大值和最小值统称为最值．

(4)求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．

2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

3．闭区间上连续函数的最值在端点处或极值点处取得．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打"√"，错误的打"×")

(1)若函数f(x)在区间(a，b)上是增加的，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0. (　　)

(2)函数的极大值不一定比极小值大． (　　)

(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．

(　　)

(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×