2019-2020学年北师大版必修二 直线、平面垂直的判定及其性质 教案

典例精析

题型一　面面垂直的判定与性质

【例1】 平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α、β所成的角分别为和，求AB与α，β的交线l所成的角的大小.

【解析】过A、B分别作AA′⊥l，BB′⊥l，垂足分别为A′、B′，则AA′⊥β，BB′⊥α.

连接A′B，AB′，则∠ABA′＝，∠BAB′＝.

设AB＝1，则AA′＝，AB′＝，BB′＝，所以A′B′＝.

过B作BC∥l且BC＝，连接A′C、AC，则∠ABC为AB与l所成的角，

因为A′B′BC，且B′B⊥A′B′，所以A′B′BC为矩形，所以A′C⊥BC.

又因为AA′⊥BC，AA′∩A′C＝A′，所以BC⊥平面AA′C，所以AC⊥BC.

在Rt△ACB中，cos∠ABC＝＝，

所以∠ABC＝，即AB与l所成的角为.

【点拨】此题关键是根据面面垂直的性质，构造直角三角形.

【变式训练1】如图一所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.

求证：平面O1DC⊥平面ABCD.

【证明】要证明平面O1DC与平面ABCD垂直，考虑到图中已知平面ABCD的垂线A1O，因而设法在平面O1DC中找出A1O的平行线.

如图二所示，连接AC，BD，A1C1，则O为AC、BD的交点，O1为A1C1、B1D1的交点.

由棱柱的性质知：A1O1∥OC，且A1O1＝OC，