2019-2020学年北师大版选修2-2 利用导数研究函数的极值最值 教案

考点一　利用导数解决函数的极值问题　多维探究

角度1　根据函数图像判断函数极值

【例1－1】 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.

答案　D

规律方法　由图像判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图像与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图像可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.

角度2　已知函数求极值

【例1－2】 (2019·宜春模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).

(1)当a＝时，求f(x)的极值；

(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.

解　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，

令f′(x)＝0，得x＝2，

于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.

x (0，2) 2 (2，＋∞)