利用导数求函数的极值

课程目标

知识点 考试要求 具体要求 考察频率 利用导数求函数的极值 C 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值和极小值(其中多项式函数不超过三次). 常考 知识提要

利用导数求函数的极值

函数的极值定义

已知函数 y=f(x)，设 x_0 是定义域 (a,b) 内任一点，如果对 x_0 附近的所有点 x，都有 f(x)

y_极大=f(x_0 ).

并把 x_0 称为函数 f(x) 的一个极大值点．如果在 x_0 附近都有 f(x)>f(x_0 ) 成立，则称函数 f(x) 在点 x_0 处取得极小值，记作

y_极小=f(x_0 ).

并把 x_0 称为函数 f(x) 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值（extreme value）．极大值点与极小值点统称为极值点．注：可导函数 f(x) 在点 x_0 取得极值的充分必要条件是 fʹ(x_0 )=0，且在 x_0 左侧与右侧，fʹ(x) 的符号不同．

函数极值的判定

设函数 f(x) 在 x_0 处连续，判别 f(x_0 ) 是极大（小）值的方法是：

（1）如果在 x_0 两侧 fʹ(x) 符号相同，则 x_0 不是 f(x) 的极值点．

（2）如果在 x_0 附近的左侧 fʹ(x)>0，右侧 fʹ(x)<0，那么，f(x_0 ) 是极大值．

（3）如果在 x_0 附近左侧 fʹ(x)<0，右侧 fʹ(x)>0，那么，fʹ(x_0 ) 是极小值．