典例精析

题型一　求常见函数的定积分

【例1】 计算下列定积分的值.

(1)(x－1)5dx；

(2) (x＋sin x)dx.

【解析】(1)因为[(x－1)6]′＝(x－1)5，

所以 (x－1)5dx＝＝.

(2)因为(－cos x)′＝x＋sin x，

所以(x＋sin x)dx＝＝＋1.

【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；

(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；

(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：

①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx＝2f(x)dx；

②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx＝0.

【变式训练1】求(3x3＋4sin x)dx.

【解析】(3x3＋4sin x)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线

y＝3x3＋4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.

又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)

＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x).

所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5,5]上是奇函数，

所以(3x3＋4sin x)dx＝－(3x3＋4sin x)dx，

所以(3x3＋4sin x)dx＝(3x3＋4sin x)dx＋(3x3＋4sin x)dx＝0.

题型二　利用定积分计算曲边梯形的面积

【例2】求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x所围成的平面图形的面积.

【解析】方法一：如图，