微积分基本定理

【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。

　　　　　　2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。

【要点梳理】

　　要点一、微积分基本定理的引入

　　我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

（1）导数和定积分的直观关系：

　　如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s（t），由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v（t）=s＇（t）。设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用

s（t）、v（t）表示s吗？

　一方面，这段路程可以通过位置函数S（t）在[a，b]上的增量s（b）－s（a）来表达，

　即 s=s（b）－s（a）。

　另一方面，这段路程还可以通过速度函数v（t）表示为 ,

　即 s =。

　所以有： s（b）－s（a）

（2）导数和定积分的直观关系的推证：

　　上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：

　　如右图：用分点a=t0＜t1＜...＜ti－1＜ti＜...＜tn=b，

　　将区间[a，b]等分成n个小区间：

　　[t0，t1]，[t1，t2]，...，[ti―1，ti]，...，[tn―1，tn]，

每个小区间的长度均为