§3 从速度的倍数到数乘向量

课前导引

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【问题】 如何理解向量数乘的几何意义?

思路分析:（1）对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由向量共线的定义知向量a与b共线.已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.

（2）判断向量a与b是否共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得b=μa.

（3）判断A、B、C三点共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得=μ.

（4）如果向量a与b不共线，且λa=μb，那么λ=μ=0.

知识预览

一、向量数乘

1.向量数乘的定义

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量数乘，记作λa.它的长度与方向规定如下：

（1）|λa|=|λ||a|；

（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；

（3）当λ=0时，λa=0.

2.向量数乘的运算律

设λ、μ是实数，则有：

（1）λ(μa)=（λμ）a;（结合律）

（2）（λ+μ）a=λa+μa；(第一分配律)

（3）λ(a+b)=λa+λb.(第二分配律)

3.向量数乘的几何意义

（1）如果向量a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa；

（2）向量λ(μ1a+μ2b)=λμ1a+λμ2b可以用平行四边形法则作出，如下图.

二、平面向量基本定理

如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1和λ2，使得a=λ1 e1+λ2 e2，其中的不共线的向量e1和e2叫做这个平面内所有向量的一组基底.