§7 向量应用举例

课前导引

问题导入

【问题】 向量问题和物理问题有哪些相关知识？

思路分析：（1）力、速度、加速度、位移都是向量；

（2）力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；

（3）动量mv是数乘向量；

（4）功的定义即是力F与位移s的数量积.

知识预览

一、向量的简单应用

1.直线的方向向量、法向量的概念

和直线平行的向量叫做直线的方向向量；和直线垂直的向量叫做直线的法向量.

2.直线的向量方程

在平面直角系中，经过定点A(x0,y0)且方向向量为v=（a,b）的直线的一般方程为=+tv(t∈R).

直线的参数方程（t为参数）

3.P、A、B三点共线的等价条件：存在实数t，使=（1-t）+t（O为坐标原点）.

4.点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的距离d为：d=.

二、用向量方法解决平面几何问题的"三步曲"

1.建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；

2.通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；

3.把运算结果变成几何关系.

平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.

例如：证明平行四边形的对角线互相平分.

第一步:建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.作平行四边形ABCD,M是对角线AC、BD的交点.设=a,=b.

第二步:通过向量运算,研究几何元素之间的关系.

由向量加法法则+=a,+=b.故2++=a+b.另外，+=a+b.两式相减得-++=0.

因为-与共线,+与共线，由向量共线的等价条件,存在实