典题精讲

例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.

思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.

答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：

||2＋||2=2||2＋2||2.

证法一：如图2-7-1所示，设=a, =b，

∴=＋=a＋b，=-=b-a.

图2-7-1

∴||2=（a+b）2=a2+2a·b+b2，

||2=（b-a）2=a2-2a·b＋b2.

∴||2＋||2=2a2+2b2.

又∵2||2＋2||2=2||2＋2||2=2a2+2b2，

∴||2＋||2=2||2＋2||2,

即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.

证法二：如图2-7-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.

设A（0，0）、D（a，b）、B（c，0），

∴=＋

图2-7-2

=＋=（c,0）+(a，b)=(a+c,b)，

=-

=-=(a,b)-(c,0)=(a-c,b).

∴||2=（c+a）2+b2，