高手支招3综合探究

1.正确理解定积分的概念及其几何意义.

(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即f(x)dx=f(u)du=f(t)dt......(称为积分形式的不变性),另外定积分f(x)dx与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分区间,定积分的积分限不同,所得的值也不同,例如f(x2+1)dx与f(x2+1)dx的值就不同.

(2)f(x)dx、|f(x)|dx与|f(x)dx|在几何意义上有不同的含义,绝不能同等看待,由于被积函数f(x)在闭区间[a,b]上可正可负,也就是它的图像可以在x轴上方,也可以在x轴下方,还可以在x轴的上下两侧,所以f(x)dx表示介于x轴,函数f(x)的曲线及直线x=a,x=b(a≠b)之间的各部分面积的代数和;而|f(x)|是非负的,所以|f(x)|dx表示在区间[a,b]上所有以|f(x)|为曲边的正曲边梯形的面积;而|f(x)dx|则是f(x)dx的绝对值,三者的值一般情况下是不同的.

2.定积分性质的常用推论.

推论1.若在区间[a,b]上,f(x)≤g(x),则

f(x)dx≤g(x)dx.

推论2.|f(x)dx|≤|f(x)|dx.

3.估值定理及其证明.

设函数f(x)在区间[a,b]上的最小值与最大值分别为m与M,则m(b-a)≤f(x)dx≤M(b-a).

证明:因为m≤f(x)≤M,由性质推论1得

mdx≤f(x)dx≤Mdx.

即mdx≤f(x)dx≤Mdx,