(2)如图2,dx表示圆x2+y2=1在第一、二象限的上半圆的面积.由S半圆=,又在x轴上方,故dx=.

图1 图2

【例2】 汽车以速度V做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程s=Vt.如果汽车做变速直线运动,在时刻t的速度为V(t)=t2+2(单位km/h),请计算它在1≤t≤2这段时间行驶的路程的过剩估计值和不足估计值(n=5).

思路分析：与求曲边梯形的面积类似,我们采取"以不变代变"的方法,把求变速直线运动的问题,化归为求匀速直线运动的路程问题.

解：将区间[1,2]分成5个小区间,则第i个小区间为[1+,1+],

其长度为Δt=.

过剩估计值s1=(1.22+2+1.42+2+1.62+2+1.82+2+22+2)×0.2

=(10+1.44+1.96+2.56+3.24+4)×0.2=4.64,

不足估计值s1=(12+2+1.22+2+1.42+2+1.62+2+1.82+2)×0.2

=(10+1+1.44+1.96+2.56+3.24)×0.2=4.04.

【例3】 利用定积分的几何意义求:(1)dx;(2)dx.

思路分析：了解被积函数的定义,由定积分的几何意义求解.

解：(1)被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆周,由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积,所以有dx==2π.

(2)∵被积函数为y=,其表示的曲线为以原点为圆心,1为半径的四分之一圆,由定积分的几何意义知,所求的定积分即为该四分之一圆的面积.

∴dx=π·12=π.

【例4】 比较定积分exdx和xdx的大小.

解：令f(x)=ex-x,x∈[-2,0],则f(x)＞0,