故m(b-a)≤f(x)dx≤M(b-a).

利用这个性质,由被积函数在积分区间上的最小值及最大值,可以估计出积分值的大致范围.

4.利用定积分的定义求变速直线运动的路程.

运动的物体做变速直线运动,它的速度v是时间t的函数v(t),欲求物体在t=0到t=t0这段时间内所经过的路程s,可以采用先分割,再近似代替,然后作和,求出极限的方法.

(1)分割:将时间区间[0,t0]分成n等份:[t0,t0](i=1,2,...,n),每个小区间所表示的时间为Δt=;各区间物体运动的距离记作Δsi(i=1,2,...,n).

(2)近似代替:在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离.在小区间[t0,t0]上任取一时刻ξi(i=1,2,...,n),用ξi时刻的速度v(ξi)近似代替第i个小区间上的平均速度.由匀速直线运动的路程公式,每个小区间上物体运动所经过的距离可以近似地表示为Δsi≈v(ξi)Δt(i=1,2,...,n).

(3)求和:因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替,所以在时间[0,t0]范围内物体运动的距离s,就可以用这一物体分别在n个小区间上作n个匀速直线运动的路程和近似代替.即s=Δsi≈v(ξi)Δt.

(4)求极限:当所分时间区间愈短,即Δt=愈小时,v(ξi)Δt的值越接近于s.因此,当n→∞,即Δt=→0时,v(ξi)Δt的极限,就是所求的物体在时间区间[0,t0]上经过的路程.由此得到s=v(ξi)Δt.

高手支招4典例精析

【例1】 利用定积分的几何意义,计算下列等式.

(1)2xdx=1;(2)dx=.

思路分析：定积分的几何意义是指曲边梯形的面积,只要理解被积函数和积分上、下限的意义,并作出图形,即可得到解决.

解：(1)如图1,2xdx表示由曲线y=2x,直线x=0,x=1,y=0所围成的图形(直角三角形)的面积,由S△=×2×1=1,故2xdx=1.