互动课堂

疏导引导

从数学角度考虑，我们希望向量的数量积也能像数量乘法那样满足某些运算律.由数量积定义

a·b=|a|·|b|·cos〈a·b〉

=|b|·|a|cos〈b，a〉=b·a,

知数量积运算满足交换律.

我们知道一个向量与一个轴上单位向量的数量积等于这个向量在轴上正投影的数量，如果将分配律（a+b）·c=a·c+b·c中的向量c换成它的单位向量c0，则分配律变为

（a+b）·c0=a·c0+b·c0（*）.

证明分配律就变为证明：两个向量和在一个方向上的正投影的数量等于各个向量在这个方向上投影的数量和.

为此，我们画出（*）式两边的几何图形进行推导.

作轴l与向量c的单位向量c0平行，作=a, =b,作=a+b.

设点O、A、B在轴l上的射影为O、A′、B′，根据向量的数量积定义有·c0=a·c0

A′B′=·c0=b·c0

OB′=·c0=（a+b）·c0

但对轴上任意三点O、A′、B′，都有

,于是（*）式成立.

（*）式两边同乘以|c|，得

（a+b）·c=a·c+b·c.

容易验证数乘以向量的数量积，可以与任一向量交换结合，即对任意实数λ,有

λ(a·b)=（λa）·b=a·（λb）.

规律总结 （1）数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律.

（2）从力做功的情况看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有（λa）·b=λ(a·b).

（3）两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律：（a+b）·c=a·c+b·c.

(4)平面向量的数量积不满足结合律a·（b·c）=(a·b)·c是错误的，这是因为a·b与b·c都是数量，所以a·（b·c）代表的是与a共线的向量；（a·b）·c代表的是与c共线的向量，向量a与c不一定共线，当然就不一定相等.

活学巧用

【例1】 下列等式中，其中正确的是（ ）

①|a|2=a2;②;③（a·b）2=a2·b2;④（a+b）2=a2+2a·b+b2.