2018-2019学年人教B版必修4 3.3三角函数的积化和差与和差化积 学案
2018-2019学年人教B版必修4 3.3三角函数的积化和差与和差化积 学案第1页

典题精讲

例1 已知cosα-cosβ=,sinα-sinβ=-,求sin(α+β)的值.

思路分析:考查三角函数的和差化积公式的应用,以及万能公式.两个等式分别用和差化积公式后再相除,得tan的值,再用万能公式求sin(α+β)的值.

解:∵cosα-cosβ=,∴-2sinsin=.①

∵sinα-sinβ=-,∴2cossin=-.②

①÷②得-tan=-.

∴tan=.

∴sin(α+β)===.

绿色通道:如果出现系数绝对值相同的同名三角函数的和差时,常用到和差化积公式.如果出现弦函数的积时,常用到积化和差公式.

黑色陷阱:受思维定势的影响,如果由已知sin2α+cos2α=1,sin2β+cos2β=1联立方程组,分别解得sinα,cosα,sinβ,cosβ的值,那么运算量就明显加大,甚至会陷入困境.

变式训练1 已知tanα、tanβ是方程x2+3x-4=0的两个根,求的值.

思路分析:利用根与系数的关系,得到tanα+tanβ和tanαtanβ,进而得到tan(α+β).看到cos2α+cos2β,sin2α+sin2β是系数相等的同名三角函数的和,用和差化积公式变形.

解:由韦达定理得tanα+tanβ=-3,tanαtanβ=-4.

∴=

===-.

变式训练2 把cosx+cos2x+cos3x+cos4x化成积的形式.

思路分析:所给的式子是四项的和,要化为积的形式,需考虑适当分组,注意到四个角的特征,显然应将cosx和cos4x组到一起,将cos2x和cos3x组到一起,这样可以在分别化积之后产生公因式,提取公因式后再继续化积.

解:cosx+cos2x+cos3x+cos4x=(cosx+cos4x)+(cos2x+cos3x)=2coscos+2coscos=2cos(cos+cos)=4coscosxcos.