圆锥曲线的离心率问题

离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数之间的联系。

一、基础知识：

1、离心率公式： （其中为圆锥曲线的半焦距）

（1）椭圆：

（2）双曲线：

2、圆锥曲线中的几何性质及联系

（1）椭圆：，

① ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：

② ：短轴长

③ 椭圆的焦距

（2）双曲线：

① ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：

② ：虚轴长

③ 椭圆的焦距

3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：

（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距。从而可求解

（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解

2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在"曲线上存在一点"，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口

（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可

（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率

注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：

二、典型例题：