2017-2018学年人教A版必修三 3.1.3 概率的基本性质 教案(1)
2017-2018学年人教A版必修三      3.1.3 概率的基本性质    教案(1)第1页

3.1.3 概率的基本性质

  

            (共 1 课时) 修改与创新 教学

目标 1、正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念;通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思想.

2、概率的几个基本性质:①必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;②当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1-P(B).

3、正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣.

教学重、

难点 教学重点:

概率的加法公式及其应用.

教学难点:

事件的关系与运算. 教学

准备 多媒体课件 教学过程

导入新课

(1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}{2,3,4,5}等;

(2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如:C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现1点或2点},C4={出现的点数为偶数}.......

师生共同讨论:观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗?这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质.

推进新课

新知探究

提出问题

在掷骰子试验中,可以定义许多事件如:C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于3},D3={出现的点数小于5},E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},......

类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.

(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪些?反之,成立吗?

(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生?

(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生?

(4)事件D3与事件F能同时发生吗?

(5)事件G与事件H能同时发生吗?它们两个事件有什么关系?

活动:学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确,教师及时评价学生的答案.

讨论结果:

(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.

(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.

(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生.

(4)事件D3与事件F不能同时发生.

(5)事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.

由此我们得到事件A,B的关系和运算如下:

①如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A(或事件A包含于事件B),记为BA(或AB),不可能事件记为,任何事件都包含不可能事件.

②如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,(若BA同时AB),我们说这两个事件相等,即A=B.如C1=D1.

③如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件(或和事件),记为A∪B或A+B.

④如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件(或积事件),记为A∩B或AB.

⑤如果A∩B为不可能事件(A∩B=),那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.

⑥如果A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.

继续依次提出以下问题:

(1)概率的取值范围是多少?

(2)必然事件的概率是多少?

(3)不可能事件的概率是多少?

(4)互斥事件的概率应怎样计算?

(5)对立事件的概率应怎样计算?

活动:学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义:(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在0-1之间,因而概率的取值范围也在0-1之间.(2)必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1.

(3)不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0.

(4)当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和.

(5)事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则A∪B的频率为1,因而概率是1,由(4)可知事件B的概率是1与事件A发生的概率的差.

讨论结果:

(1)概率的取值范围是0-1之间,即0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于7},因此P(E)=1.

(3)不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于6},因此P(F)=0.

(4)当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式.

(5)事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,P(A∪B)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G={出现的点数为偶数}与H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此P(G)=1-P(H).

上述这些都是概率的性质,利用这些性质可以简化概率的计算,下面我们看它的应用.

应用示例

例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?

事件A:命中环数大于7环; 事件B:命中环数为10环;

事件C:命中环数小于6环; 事件D:命中环数为6、7、8、9、10环.

活动:教师指导学生,要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生.

解:A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件(至少一个发生).

点评:判断互斥事件和对立事件,要紧扣定义,搞清互斥事件和对立事件的关系,互斥事件是对立事件的前提.

变式训练

从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.

(1)恰好有1件次品恰好有2件次品;

(2)至少有1件次品和全是次品;

(3)至少有1件正品和至少有1件次品;

(4)至少有1件次品和全是正品.

解:依据互斥事件的定义,即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知:(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们并不是必然事件,所以它们不是对立事件.同理可以判断:(2)中的2个事件不是互斥事件,也不是对立事件.(3)中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件.(4)中的2个事件既互斥又对立.

例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是,取到方块(事件B)的概率是,问:

(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?

(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

活动:学生先思考或交流,教师及时指导提示,事件C是事件A与事件B的并,且A与B互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事件D是对立事件,因此P(D)=1-P(C).

解:(1)因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以事件A与事件B互斥,根据概率的加法公式得P(C)=P(A)+P(B)=.

(2)事件C与事件D互斥,且C∪D为必然事件,因此事件C与事件D是对立事件,P(D)=1-P(C)=.

点评:利用概率的加法公式,一定要注意使用条件,千万不可大意.

变式训练

某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算该射手在一次射击中:

(1)射中10环或9环的概率;

(2)少于7环的概率.

解:(1)该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和,即为0.21+0.23=0.44.(2)射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和,即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件,所以射中少于7环的概率为1-0.97=0.03.

知能训练

1.下列说法中正确的是( )

A.事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大

B.事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小

C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件

D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件

答案:D

2.课本练习1-5.

拓展提升

解:设男生有x名,则女生有36-x名.选得2名委员都是男性的概率为.

选得2名委员都是女性的概率为.

以上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于,得+=.解得x=15或x=21.

即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名.

总之,男女生相差6名.

2.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示:

(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?

(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?

解:(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.

(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故"不能输给B型血的人"为事件A′+C′,且P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.

即任找一人,其血可以输给小明的概率为0.64,其血不能输给小明的概率为0.36.

注:第(2)问也可以这样解:因为事件"其血可以输给B型血的人"与事件"其血不能输给B型血的人"是对立事件,故由对立事件的概率公式,有P()=1-P(B′+D′)=1-0.64=0.36.

课堂小结

1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为0,必然事件一定发生,因此其概率为1.当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的概率等于A发生的概率与B发生的概率的和,从而有公式P(A∪B)=P(A)+P(B);对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生.

2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形:①事件A发生B不发生;②事件B发生事件A不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.

作业

习题3.1A组5,B组1、2.