微积分基本定理

【学情分析】：

学生已经在高一学习了物理中的匀速直线运动的速度与位移的关系，并且在前一节课通过学习了"已知物体的速度与时间的关系，求其在一定时间内经过的路程"，得到定积分的概念以及求法．学生必然会提出：如果每次求定积分都按"四部曲"求解是一件很麻烦的事情．利用学生的疑问，激发他们的探究精神学习微积分基本定理．以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位．

【教学目标】：

　　（1）知识与技能：了解微积分基本定理的含义

　　（2）过程与方法：运用基本定理计算简单的定积分

　　（3）情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．

【教学重点】：

通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分

【教学难点】：

了解微积分基本定理的含义．

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图 一、

提

出

问

题 (1) 你能用定义计算吗?

师:我们首先回忆昨天怎样计算?

提示:快速阅读课本P52例题1.

生:利用定义进行计算,分四步:①分割;②近似代替,③作和;④取极限.

师:利用定义计算时,需要使用这一结果,技巧性较强.

师:能否按照定义计算?

生(或师):需要求的和,而这个"和"是"求不出"的，因此用定义就算不出的结果．

师：从这个事实我们有这样一个感觉，尽管我们的被积函数简单（如），但是利用定义求它们的定积分依然会很困难，甚至"求"不出．

师：我们知道加法的逆运算是减法．乘法的逆运算是除法，而两向量的加法运算和减法运算是互为逆运算．类似地提出问题：求定积分运算有没有逆运算，如果有，它的逆运算我们如何去定义？

师：数学也是一门应用的科学，如果微积分难以在实际中应用，那么欧洲的十七世纪的科学也不会得到那么快的发展．我们的前辈牛顿和莱布尼茨分别独立有效的创立了微积分的基本定理和运算法则，从而使微积分能普遍应用于科学实践．

师：前辈们是如何发现微积分基本定理呢？现在我们不妨循着前辈足迹走一走．前辈经过思考，发现导数和定积分有某种联系．

师：我们可以看看下面的一些事实：

我们知道，如果是匀速直线运动速度函数，那么在直线下方的面积S就是位移；如果匀变速直线运动速度函数为，同样在直线下方的面积S就是位移。

我们又知道，位移函数，曲线下的面积可以用定积分进行计算。你能从上面的找到规律吗？

生：

（2）师：那么，导数和定积分到底有何内在联系?能否从这种联系中找出求定积分的简便、有效的方法?

生：阅读P57的探究

师：你能说说解决书本第57页的"探究"的基本思路吗?

生：思考，讨论，探究，并尝试提出解决问题的思路．

引导学生思考用定义计算定积分的困难及其原因．

类比启发

引导学生大胆尝试

激发寻求计算定积分新方法的认知需要．

渗透数学史，让学生认识到历史上数学光辉的一页．