案例（二）----精析精练

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　重点难点突破

知识点一 平面的法向量

1.平面法向量的定义

(1)定义:已知平面a如果向量n的基线与平面a垂直,则向量n叫做平面a的法向量或说向量n与平面a正交.

(2)平面法向量的性质:①平面a的一个法向量垂直于与平面a共面的所有向量;②一个平面的法向量有无数个,一个平面的所有法向量互相平行.

2.平面的法向量的求法

方法一:找到一条与已知平面垂直的直线,则该直线的任意方向向量都是该平面的法向量

方法二:待定系数法,即若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:①设出平面的法向量为n=(x,y,x)；②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(x1,y1, 1),b=(x2,y2, 2)；③根据法向量的定义,建立关于x,y, 的方程组④解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

这里需要说明的是:①方法二必须建立空间直角坐标系,而方法一却不一定要建立空间直角坐标系,视具体情况而定;②在求平面的法向量时,要先找有没有和平面垂直的直线,若没有则用待定系数法;③在利用方法二求解平面的法向量时,方程组有无数多个解,只需给x,y,之中的一个变量赋予一个特值,即可确定平面的一个法向量.赋予的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.

3.平面法向量的作用

详解:设n1,m2分别是平面a,的法向量,m是直线l的方向向量,则有:①∥a或am⊥n1m·n1=0；②⊥am∥n1；③a∥或a与重合n1∥n2；④a⊥=n1⊥n2n1·n2=0.

知识点二 三垂线定理及其逆定理.

三垂线定理及逆定理实际上反映的是斜线和射影的关系.

①三垂线定理的符号描述

如右图,PO、PA分别是平面a的垂线、