2.1.2 类比推理

考点一：事物相似性与一致性的理解

1.类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质．

[解析]　(1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后，结果仍是一个向量．

(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律．即a＋b＝b＋a；a＋b＝b＋a.

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算．a＋x＝0与a＋x＝0都有唯一解，x＝－a与x＝－a.

(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a＋0＝a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即a＋0＝a.

2.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两个定义很相似．于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质．试将平面上的圆与空间中的球进行类比．

[解析]　圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：

弦　　　↔　　 截面圆，

直径 ↔ 大圆，

周长 ↔ 表面积，

圆面积 ↔ 球体积，

等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：

与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆是等圆；

与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于经过切点的半径；

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 球的切面垂直于经过切点的半径；

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心