类型一　i的运算特征

例1　计算下列各式的值．

(1)1＋i＋i2＋...＋i2 015＋i2 016；

(2)2 014＋(1－i)2 014.

解　(1)1＋i＋i2＋...＋i2 015＋i2 016＝＝＝1.

(2)∵1－＝1＋＝1＋i，且(1±i)2＝±2i.

∴2 014＋(1－i)2 014

＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007

＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i3－21 007i3＝0.

反思与感悟　(1)虚数单位i的性质

①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．

②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

(2)复数的乘方运算，要充分使用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i及乘方运算律简化运算．

跟踪训练1　计算：i2 006＋(＋i)8－50.

解　i2 006＋(＋i)8－50

＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－25

＝i2＋(4i)4－i25＝－1＋256－i＝255－i.

类型二　复数的除法运算

例2　(1)已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是 ．

答案　1＋i

解析　＝