2019-2020学年北师大版选修2-2 1.3 反证法 教案
2019-2020学年北师大版选修2-2   1.3 反证法 教案第2页

例1、已知a是整数,2能整除,求证:2能整除a.

证明:假设命题的结论不成立,即"2不能整除a"。

因为a是整数,故a是奇数,a可表示为2m+1(m为整数),则

,即是奇数。

所以,2不能整除。这与已知"2能整除"相矛盾。于是,"2不能整除a"这个假设错误,故2能整除a.

例2、在同一平面内,两条直线a,b都和直线c垂直。求证:a与b平行。

证明:假设命题的结论不成立,即"直线a与b相交"。

设直线a,b的交点为M,a,c的交点为P,b,c的交点为Q,

如图所示,则。

这样的内角和

   。

这与定理"三角形的内角和等于"相矛盾,这说明假设是错误的。

所以直线a与b不相交,即a与b平行。

例3、求证:是无理数。

证明: 不是无理数,即是有理数,那么它就可以表示成两个整数之比,

设,且p,q互素,则。所以 。 ①

故是偶数,q也必然为偶数。设q=2k,代入①式,则有,即,

所以p也为偶数。P和q都是偶数,它们有公约数2,这与p,q互素相矛盾。

因此,假设不成立,即"是无理数"。

 (三)、小结:反证法的证题步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假设,肯定结论。

 应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等).

方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其