(1)当x∈(0,1］时,求f(x)的解析式;

(2)若a>3,试判断f(x)在(0,1］上的单调性,并证明你的结论;

(3)是否存在a,使得当x∈(0,1］时,f(x)有最大值1.

解：(1)∵x∈(0,1］时,-x∈［-1,0),

∴f(-x)=(-x)3-a(-x)=ax-x3.

又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x3.

(2)f′(x)=-3x2+a,∵x∈(0,1］,∴x2∈(0,1］.

∴-3x2≥-3.

∵a>3,∴-3x2+a>0,故f(x)在(0,1］上为增函数.

(3)假设存在a,使得当x∈(0,1］时,f(x)有最大值1.

∴f′(x)=a-3x2.

令f′(x)=0,∴-3x2+a=0,即a>0时,x=±.

又∵x∈(0,1］,∴x=且<1.

∴f′(x)在(0,)上大于0,在(,1)上小于0.

∴f(x)max=f()=-==1.

∴a=时,f(x)有最大值1.

温馨提示

关于存在性问题,处理的方法可以先假设存在,再寻找所得的结论.

各个击破

类题演练 1

求下列函数的最值.

(1)f(x)=3x-x3(-≤x≤3);

(2)f(x)=6-12x+x3,x∈［-,1］.

解:(1)f′(x)=3-3x2,令f′(x)=0,得x=±1,

∴f(1)=2,f(-1)=-2.

又f(-3)=0,f(3)=-18,∴［f(x)］max=2,［f(x)］min=-18.

(2)f′(x)=-12+3x2=0,∴x=±2.

∵当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,∴f(x)为增函数.

当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,∴f(x)为减函数.

∴当x∈［,1］时,f(x)为减函数.